Question

已知函數(,為自然對數的底數).
(1)若曲線在點處的切線平行于軸,求的值;
(2)求函數的極值;
(3)當的值時,若直線與曲線沒有公共點,求的最大值.

Answer 1

(1）.；(2)當時，函數無極小值；當，在處取得極小值，無極大值.；(3)的最大值為.

試題分析：(1)由于曲線在點處的切線平行于軸，所以.求導解方程即可得的值.(2)由于函數中含參數，故需要分情況討論.求導得：，分情況求出函數的單調區間即可得函數的極值；(3)當時，.直線:與曲線沒有公共點等價于關于的方程在上沒有實數解.一般地考慮分離參數.即變形為：
(*)在上沒有實數解.當時，方程(*)可化為，在上沒有實數解.當時，方程(*)化為.令，利用導數求出的取值范圍即可得的取值范圍.
試題解析：(1)由,得.
又曲線在點處的切線平行于軸,
得,即,解得.
(2),
①當時,,為上的增函數,所以函數無極值.
②當時,令,得,.
,;,.
所以在上單調遞減,在上單調遞增,
故在處取得極小值,且極小值為,無極大值.
綜上,當時,函數無極小值;
當,在處取得極小值,無極大值.
(3)當時,.
直線:與曲線沒有公共點,
等價于關于的方程在上沒有實數解,即關于的方程:
(*)
在上沒有實數解.
①當時,方程(*)可化為,在上沒有實數解.
②當時,方程(*)化為.
令,則有.
令,得,
當變化時,的變化情況如下表:
 
當時,,同時當趨于時,趨于,
從而的取值范圍為.所以當時,方程(*)無實數解,解得的取值范圍是.
綜上,得的最大值為.