Question

【題目】雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標原點.為曲線右支上的點，點在外角平分線上，且.若恰為頂角為的等腰三角形，則該雙曲線的離心率為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

延長交的延長線于點，根據幾何關系，求得點坐標，代入雙曲線方程可得齊次式，則問題得解.

延長交的延長線于點，連接，過作，如下所示：

不妨設，

因為，且為的角平分線，故可得，

故可得，且為的中點；

因為為頂角的等腰三角形，故可得，

由余弦定理可得，

在中，因為分別為的中點，故；

根據雙曲線定義可知：，即；

又；

聯立可得；

因為為頂角的等腰三角形

故在直角三角形中，

則，由勾股定理可得

故可得點坐標為，即，代入雙曲線方程可得：

，

整理得：，

同除可得，

分解因式可得，

解得或（舍去負根），

則.

故選：D.