Question

如圖，某市擬在道路的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段ABC，該曲線段為函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，

π

2

＜φ＜π），x∈[-3，0]的圖象，且圖象的最高點為B（-1，3

2

）；賽道的中間部分為

3

千米的水平跑到CD；賽道的后一部分為以O圓心的一段圓弧

DE

．
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區域內建一個“矩形草坪”，如圖所示，矩形的一邊在道路AE上，一個頂點在扇形半徑OD上．記∠POE=θ，求當“矩形草坪”的面積最大時θ的值．

Answer 1

分析：1）依題意，得A=3

2

，

T

4

=2，根據周期公式T=

2π

w

可得ω=

π

4

，把B（-1，3

2

）代入結合已知

π

2

＜φ＜π可得φ，又x=0時，y=OC=3，因為CD=

3

從而可得∠COD=

π

6

，可求∠DOE=

π

3

．
（2）由（1）可知OD=OP=2

3

，矩形草坪的面積S=（2

3

sinθ）2

3

cosθ+2sinθ=4

3

sin（2θ+

π

6

）-2

3

，有0＜θ＜

π

3

，結合正弦函數的性質可求

解答：解：（1）依題意，得A=3

2

，

T

4

=2，因為T=

2π

w

，所以ω=

π

4

，所以y=3

2

sin（

π

4

x+φ）．
當x=-1時，3

2

sin（-

π

4

+φ）=3

2

，由

π

2

＜φ＜π，得-

π

4

+φ=

π

2

，所以φ=

3π

4

．
又x=0時，y=OC=3，因為CD=

3

，所以∠COD=

π

6

，從而∠DOE=

π

3

．
（2）由（1）可知OD=OP=2

3

，矩形草坪的面積
S=（2

3

sinθ）（2

3

cosθ-2sinθ）=4

3

（

3

sinθcosθ-sin²θ）
=4

3

（

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

）=4

3

sin（2θ+

π

6

）-2

3

，
其中0＜θ＜

π

3

，所以當2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時，S最大．

點評：本題主要考查了在實際問題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數的解析式，一般步驟是：由函數的最值確定A的值，由函數所過的特殊點確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數所給的點（一般用最值點）的坐標代入求φ，從而求出函數的解析式；還考查了實際問題中的最值的求解．關鍵是要把實際問題轉化為數學問題來求解．