Question

【題目】如圖（1），平面五邊形中，為正三角形，，，.如圖（2）將沿折起到的位置，使得平面平面.點為線段的中點.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線與所成角的正切值為，，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由，，則四邊形為平行四邊形，即，結合線面平行的判定定理可得平面；

（2）由平行相交的方法，將異面直線通過作平行線的方法使之相交，在作出異面直線所成的角，因為，所以為直線與所成的角，求出，

再由是三棱錐的高，結合已知條件及三棱錐的體積公式即可得解.

（1）證明：取的中點，

連接，，則，，

又，，所以，

則四邊形為平行四邊形，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）取的中點，連接，

因為平面平面，，

平面平面，平面，

所以平面.

所以是三棱錐的高.

因為，所以為直線與所成的角，

由（1）可得，，所以，

由，可知，，則.