Question

【題目】已知定義在 上的函數滿足 ,當 時, .
（1）求證： 為奇函數;
（2）求證： 為 上的增函數;
（3）解關于 的不等式: (其中 且 為常數).

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 ,令 ,得 ,即 .
再令 ,即 ,得 .
∴ ,
∴ 是奇函數
（2）解：設 ,且 ,則 .
由已知得: ,
∴ ,
∴ .
即 在 上是增函數
（3）解：∵ ,∴ ,
∴ .
即 .
∵ ,∴ .
當 ,即 時,所求不等式的解集為 或 .
當 ,即 時, 所求不等式的解集為 .
當 ,即 時, 所求不等式的解集為 或
【解析】(1)抽象函數的奇偶性判斷,可由函數所滿足的條件,取特殊值,得到f(x)與f(-x)的關系進行判斷；
(2)抽象函數的單調性,用定義證明;
(3)將函數不等式進行轉化為標準型,由單調性脫去f得到關于x的含參數a的不等式,分類討論求解,得解集.
【考點精析】本題主要考查了函數的奇偶性和奇偶性與單調性的綜合的相關知識點，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性才能正確解答此題．