Question

【題目】已知函數

（1）當時，求函數的單調區間．

（2）當且時，不等式在上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 增區間為（e﹣3，+∞），減區間為（0，e﹣3）(2)3

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）分離參數，問題轉化為k＜對任意x＞1恒成立，根據函數的單調性求出k的最大值即可．

解析：

（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定義域為（0，+∞），

∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e﹣3，由f′（x）＜0得到x＜e﹣3，

∴函數f（x）=2x+xlnx的增區間為（e﹣3，+∞），減區間為（0，e﹣3）．

（2）當x＞1時，x﹣1＞0，故不等式k（x﹣1）＜f（x）k＜，

即k＜對任意x＞1恒成立．

令g（x）=，則g′（x），

令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），

則h′（x）=1﹣=＞0h（x）在（1，+∞）上單增．

∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，

即當1＜x＜x0時，h（x）＜0，即g′（x）＜0，

當x＞x0時，h（x）＞0，即g′（x）＞0，

∴g（x）在（1，x0）上單減，在（x0，+∞）上單增．

令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，

g（x）min=g（x0）= =x0∈（3，4），

∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，

即kmax=3.