Question

定義在R上的單調遞減函數y=f（x）滿足f（1-x）=-f（1+x），且對于任意x，y∈R，不等f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0恒成立，則當x≥1時，

y

x

的取值范圍為

[-1，3]

．

Answer 1

分析：先根據函數f（x）的性質化簡不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，得到關于x，y的約束條件，畫出約束條件 的可行域，然后分析

y

x

的幾何意義，結合圖象，用數形結合的思想，即可求解．

解答：解：∵f（1-x）=-f（1+x），
∴f（2-x）=-f（x），
又∵f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0
∴f（x²-2x）≥-f（y²-2y）
∴f（x²-2x）≥f（2-y²+2y）
∵定義在R上的單調遞減函數y=f（x）
∴x²-2x≤2-y²+2y
即（x-1）²+（y-1）²≤4，表示一個圓，又x≥1
如下圖所示：
又∵

y

x

表示的是可行域內一點與原點連線的斜率
當x=1，y=3時，

y

x

有最大值 3；
當x=1，y=-1時，

y

x

有最小值-1
故答案為：[-1，3]

點評：平面區域的最值問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．