Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，是否存在整數，使得關于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；的最大值為-1

【解析】

（1）求得，根據題設條件，得到，即可求解；

（2）假設存在整數，使得不等式恒成立，當時，函數，求得函數的導數，令，利用導數求得函數的單調性與最值，結合零點的存在定理和函數的最值，即可求解.

（1）由題意，函數，則，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以，解得.

（2）假設存在整數，使得關于的不等式恒成立，

當時，函數，可得，

設，則，

所以單調遞增，且，，

所以存在使得，

因為當時，，即，所以單調遞減；

當時，，即，所以單調遞增，

所以時，取得極小值，也是最小值，

此時，

因為，所以，

因為，且為整數，所以，即的最大值為-1.