Question

【題目】如圖，已知是半徑為2的半球的直徑， 為球面上的兩點且， ．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）作于點，連，由勾股定理及三角形全等得，根據線面垂直的判定定理得平面，進而可得結果；（2）以為原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式，可得結果.

試題解析：（1）在中，過作于點，連．

由可知，且，

又 ，∴．

又， ∴平面，又平面，

∴平面平面．

（2）由（1）可知兩兩垂直，故以為原點， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標系，可知．

設平面的法向量為 ，

則，即， ∴，

令，則得， ∴，

又平面的法向量， ∴，

而二面角與的夾角相等，因此所求的二面角的余弦值為．

【方法點晴】本題主要考查利用面面垂直的判定定理以及空間向量求法向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.