Question

【題目】如圖，直線PQ與⊙O相切于點A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線AC交⊙O于點C，連結CB，并延長與直線PQ相交于點Q，若AQ=6，AC=5．

（Ⅰ）求證：QC2﹣QA2=BCQC；

（Ⅱ）求弦AB的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】試題（Ⅰ）由于PQ與⊙O相切于點A，再由切割線定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC從而命題得到證明

（Ⅱ）解：PQ與⊙O相切于點A，由弦切角等于所對弧的圓周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，從而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由對應邊成比例，求出AB的值．

試題解析：（Ⅰ）證明：∵PQ與⊙O相切于點A，

∴由切割線定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC．

∴QC2﹣QA2=BCQC．

（Ⅱ）解：∵PQ與⊙O相切于點A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5

又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC，∴QC=9

由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，∴．