Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓經過拋物線與坐標軸的三個交點．

（1）求圓的方程；

（2）經過點的直線與圓相交于，兩點，若圓在，兩點處的切線互相垂直，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）和．

【解析】

（1）方法一、求得拋物線與坐標軸的三個交點，設出圓的一般式方程，代入三點坐標，解方程組可得D，E，F，即可得到所求圓方程；方法二、由拋物線方程與圓的一般式方程，可令y＝0，可得D，F，再由拋物線與y軸的交點，可得E，即可得到所求圓方程；

（2）求圓C的圓心和半徑，圓C在A，B兩點處的切線互相垂直，可得∠ACB，求得C到直線l的距離，討論直線l的斜率是否存在，由點到直線的距離公式，計算可得所求直線方程．

（1）方法一：拋物線與坐標軸的三個交點坐標為，，．

設圓的方程為，

則 , 解得

所以圓的方程為．

方法二：設圓的方程為．

令，得．

因為圓經過拋物線與軸的交點，

所以與方程同解，

所以，．

因此圓．

因為拋物線與軸的交點坐標為，

又所以點也在圓上，所以，解得．

所以圓的方程為．

（2）由（1）可得，圓：，

故圓心，半徑．

因為圓在，兩點處的切線互相垂直，所以．

所以到直線的距離．

① 當直線的斜率不存在時， ，符合題意；

② 當直線的斜率存在時，設，即，

所以，解得，

所以直線，即．

綜上，所求直線的方程為和．

方法三：①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，，將直線的方程代入圓的方程得：

，

即

，．

因為圓在點，兩點處的切線互相垂直，所以，

所以，即，

所以，

即，

即，

，

即，解得，所以直線：，

即．

②當直線的斜率不存在時，：，符合題意；

綜上，所求直線的方程為和．