Question

【題目】設橢圓C： ，定義橢圓C的“相關圓”方程為，若拋物線的焦點與橢圓C的一個焦點重合，且橢圓C短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形。

（I）求橢圓C的方程和“相關圓”E的方程；

（II）過“相關圓”E上任意一點P作“相關圓”E的切線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點。

（i）證明∠AOB為定值；

（ii）連接PO并延長交“相關圓”E于點Q，求△ABQ面積的取值范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2) （i）見解析（ii）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，且橢圓C短軸的一個端點和兩個焦點構成直角三角形，得到 由此能求出橢圓的方程．
進而求出“相關圓”的方程．

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線方程為 ；當直線的斜率存在時，設其方程為，代入橢圓方程，得 由此利用根的判別式、韋達定理、直線與圓相切，結合已知條件推導出為定值．

（ii）要求的面積的取值范圍，只需求弦長的范圍，由此利用橢圓弦長公式能求出面積的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）因為若拋物線的焦點為與橢圓的一個焦點重合，所以

又因為橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構成直角三角形，所以

故橢圓的方程為，

“相關圓”的方程為

（Ⅱ）（i）當直線的斜率不存在時，不妨設直線AB方程為，

則所以

當直線的斜率存在時，設其方程設為，設

聯立方程組得,即,

△=,即

因為直線與相關圓相切，所以

為定值

（ii）由于是“相關圓”的直徑，所以，所以要求面積的取值范圍，只需求弦長的取值范圍

當直線AB的斜率不存在時，由（i）知

因為

,

時為所以,

所以,所以

當且僅當時取”=”

②當時,．|AB |的取值范圍為

面積的取值范圍是.