Question

（2012•汕頭一模）如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（3）求三棱錐F-CBE的體積．

Answer 1

分析：1）利用線面垂直的性質定理可得CB⊥AF．再利用圓的直徑所對圓周角是直角的性質可得AF⊥BF，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）取線段CD的中點N，連接MN，ON．利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質定理可得：MN∥DF，OA∥DA，利用面面平行的判定定理可得：平面OMN∥平面DAF，利用其性質定理即可得出線面平行；
（3）由（1）可得：BC⊥平面ABEF，即BC為三棱錐C-BEF的高，由已知可得△OEF是邊長為1的等邊三角形即可得出其面積，利用三棱錐的體積計算公式即可得出．

解答：（1）證明：∵矩形ABCD⊥平面ABEF，矩形ABCD∩平面ABEF，BC⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，∴CB⊥AF．
由AB為圓O的直徑，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF．
又BC∩BF=B，∴AF⊥平面CBF．
（2）證明：取線段CD的中點N，連接MN，ON．又M為CF的中點，∴MN∥DF，
∵DN

∥

.

OA，∴四邊形OADN為平行四邊形，∴OA∥DA．
∵ON∩MN=N，∴平面OMN∥平面DAF，
∴OM∥平面DAF．
（3）連接OE，OF，則OE=OF=EF=1，∴△OEF為等邊三角形，∴S△OEF=

3

4

×12=

3

4

，
∴V_F-CBE=V_C-BEF=

1

3

S△BEF•BC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

．

點評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定與性質定理、線面與面面平行的判定與性質定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質、等邊三角形的性質、三棱錐的體積、圓的性質等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．