Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若平面，求二面角的大小；

（3）在（2）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面.若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2) (3)見(jiàn)解析

【解析】

（1）先證明平面，即可得到；

（2）由題設(shè)知，連，設(shè)交于于，由題意知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，求法向量的夾角余弦值，即可求出結(jié)果；

（3）要使平面，只需與平面的法向量垂直即可，結(jié)合(2)中求出的平面的一個(gè)法向量，即可求解.

（1）連交于，由題意.

在正方形中，，

所以平面，得

（2）由題設(shè)知，連，設(shè)交于于，由題意知平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖.

設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高.

則，，

又平面，

則平面的一個(gè)法向量，

平面的一個(gè)法向量，

則，

又二面角為銳角，則二面角為；

（3）在棱上存在一點(diǎn)使平面.由（2）知是平面的一個(gè)法向量，

且，

設(shè)，

則

又平面，所以，

則.

即當(dāng)時(shí)，

而不在平面內(nèi)，故平面.