Question

（2011•順義區二模）已知函數f(x)=2-sin(2x+

π

6

)-2sin2x，x∈R
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）記△ABC的內角A，B，C的對邊長分別為a，b，c，若f(

B

2

)=1，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式的第二項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，第三項利用二倍角的余弦函數公式化簡，去括號合并后，再利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值，把函數解析式化為一個角的余弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數的最小正周期；
（2）由f（

B

2

）=1，故把x=

B

2

代入第一問化簡后的解析式中，讓其值等于1，化簡后求出cos（B+

π

3

）的值為0，由B的范圍，得到B+

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數值得出關于B的方程，求出方程的解得到B的度數，再由b和c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C為三角形的內角，可得出C的度數有兩解

π

3

或

2π

3

，當C為

π

3

，求出A為直角，此時三角形為直角三角形，根據勾股定理求出a；當C為

2π

3

，此時三角形為等腰三角形，可得a=b，由b即可求出a．

解答：解：（1）f(x)=2-sin(2x+

π

6

)-2sin2x
=2-(sin2xcox

π

6

+cos2xsin

π

6

)-(1-cos2x)
=1+cos2x-(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)
=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1
=cos(2x+

π

3

)+1…（5分）
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
則函數f（x）的最小正周期為π；
（2）由f(

B

2

)=1得：cos(B+

π

3

)+1=1，即cos(B+

π

3

)=0，
又0＜B＜π，∴

π

3

＜B+

π

3

＜

4

3

π，
∴B+

π

3

=

π

2

，即B=

π

6

，…（9分）
∵b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

3

2

，
∴C=

π

3

或

2

3

π，…（11分）
當C=

π

3

時，A=

π

2

，從而a=

b2+c2

=2，
當C=

2π

3

時，A=

π

6

，又B=

π

6

，從而a=b=1，
則a的值為1或2．…（13分）

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，涉及的知識有：兩角和與差的正弦、余弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，正弦定理，以及特殊角的三角函數值，求函數最小正周期的關鍵是利用三角函數的恒等變換把函數解析式化為一個角的三角函數，同時運用正弦定理能很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握正弦定理是解第二問的關鍵．