Question

【題目】已知函數f(x)的導函數f′(x)，且對任意x＞0，都有f′(x)＞.

(1)判斷函數F(x)＝在(0，＋∞)上的單調性；

(2)設x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)請將(2)中結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．

Answer 1

【答案】(1) 見解析;(2) 見解析;(3) 見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）判斷F(x)的單調性，則需對F(x)求導，得F′(x)＝，∵f ′(x)＞，x＞0，則xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數.（Ⅱ）要證明f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，可以從第（Ⅰ）的結論入手，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，則F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜，而x1＞0，所以f(x1)＜f(x1＋x2)，同理f(x2)＜f(x1＋x2)，兩式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，得證.（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：設x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．證明的方法同（Ⅱ）的證明，∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜，而x1＞0，所以f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，同理f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，……

f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n個不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得證.

試題解析：（Ⅰ）對F(x)求導數，得F′(x)＝．

∵f ′(x)＞，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，

∴F′(x)＞0．

故F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數．

（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，

∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即＜．

∵x1＞0，∴f(x1)＜f(x1＋x2)．

同理可得f(x2)＜f(x1＋x2)．

以上兩式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．

（Ⅲ）（Ⅱ）中結論的推廣形式為：

設x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，則f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，

∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．

由（Ⅰ），知F(x)＝在(0，＋∞)上是增函數，

∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜．

∵x1＞0，

∴f(x1)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

同理可得

f(x2)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，

f(x3)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，

……

f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．

以上n個不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．