Question

已知函數，求函數f（x）的定義域，并討論它的奇偶性和單調性．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）的定義域是各部分定義域的交集．
（2）研究f（x）的奇偶性，先看定義域是否關于原點對稱，定義域關于原點對稱時再看f（-x）與f（x）的關系．
（3）先看f（x）在區間（0，1）上的單調性，由函數的奇偶性，進而可得f（x）在（-1，0）內的單調性與在區間（0，1）上的單調性一致．
解答：解：（1）x須滿足，
由＞0得-1＜x＜1，
所以函數f（x）的定義域為（-1，0）∪（0，1）．
（2） 因為函數f（x）的定義域關于原點對稱，
且對定義域內的任意x，
有，
所以f（x）是奇函數．
研究f（x）在（0，1）內的單調性，
任取x₁、x₂∈（0，1），且設x₁＜x₂，
則
=
由，
得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（0，1）內單調遞減，
由于f（x）是奇函數，所以f（x）在（-1，0）內單調遞減．
點評：本題考查函數的定義域、奇偶性、單調性．