Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+bx+1（a，b為實數），x∈R，
（1）若f（﹣1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）為偶函數，判斷F（m）+F（n）能否大于零．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，∴a﹣b+1=0①，

又x∈R，f（x）的值域為[0，+∞），

∴ ②，

由①②消掉a得，b2﹣4（b﹣1）=0，

∴b=2，a=1，

∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．

∴

（2）解：由（1）知，g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1= ，

當 或 時，

即k≥6或k≤﹣2時，g（x）是單調函數

（3）解：∵f（x）是偶函數，

∴f（x）=ax2+1， ，

∵mn＜0，設m＞n，則n＜0．

又m+n＞0，

∴m＞﹣n＞0，

∴|m|＞|﹣n|，

F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，

∴F（m）+F（n）能大于零

【解析】（1）由f（﹣1）=0得a﹣b+1=0①，由x∈R，f（x）的值域為[0，+∞），得∴ ②，聯立①②可解a，b；（2）由（1）表示出g（x），根據拋物線對稱軸與區間[﹣2，2]位置可得不等式，解出即可；（3）由f（x）為偶函數可得b=0，從而可表示出F（x），由mn＜0，不妨設m＞0，n＜0，則m＞﹣n＞0，即|m|＞|﹣n|，由此刻判斷F（m）+F（n）的符號；
【考點精析】認真審題，首先需要了解奇偶性與單調性的綜合(奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性)．