Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足直線MP與直線NP的斜率之積為.記動點P的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程，并說明C是什么曲線；

（2）過點作直線與曲線C交于不同的兩點A，B，試問在x軸上是否存在定點Q，使得直線QA與直線QB恰好關于x軸對稱?若存在，求出點Q的坐標;若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），C為中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點；（2）存在，

【解析】

（1）寫出斜率，根據斜率之積為建立方程，化簡即可；

（2）設直線的方程為，與橢圓C的方程聯立整理得，設，，定點（依題意）.由根與系數的關系可得，，，由直線與直線恰好關于x軸對稱，則直線與直線的斜率互為相反數，代入可得.

（1）由題設可得，，，則，化簡得. ，

所以C為中心在坐標原點，焦點在X軸上的橢圓，不含左右頂點.

（2）存在定點，滿足直線QA與直線QB恰好關于x軸對稱，

由題設知，直線l的斜率不為0，設直線的方程為，

與橢圓C的方程聯立整理得，設，，定點（依題意）.

由根與系數的關系可得，，

直線與直線恰好關于x軸對稱，則直線與直線的斜率互為相反數，

所以，即.

又，，所以整理得.

從而可得即，

所以當，即時，直線與直線恰好關于x軸對稱

所以，在軸上存在點，滿足直線與直線恰好關于x軸對稱