Question

已知拋物線與坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為.
(1) 求實數的取值范圍；
(2) 設拋物線與ｘ軸的交點從左到右分別為A、B，與ｙ軸的交點為C，求A、B、C三點的坐標；
(3) 設直線是拋物線在點A處的切線，試判斷直線是否也是圓的切線？并說明理由.

Answer 1

(1)或;(2),;(3) 直線不可能是圓的切線.

(1)∵拋物線與坐標軸有三個交點∴，否則拋物線與坐標軸只有兩個交點，與題設不符,由知，拋物線與ｙ軸有一個非原點的交點，故拋物線與ｘ軸有兩個不同的交點，即方程有兩個不同的實根∴即
∴的取值范圍是或.
(2)令ｘ＝０得，∴
令得解得
∴,;
(3)解法１：∵　∴
∴直線的斜率
∵圓過A、B、C三點，∴圓心M為線段AB與AC的垂直平分線的交點
∵AB的垂直平分線即拋物線的對稱軸
∵線段AC的中點為直線AC的斜率
∴線段AC的垂直平分線方程為    ()
將代入()式解得，即
∴，若直線也是圓的切線，則
即解得這與或矛盾
∴直線不可能是圓的切線．
解法２：∵　∴,
∴直線的斜率,
設圓的方程為,
∵圓過,，
∴　解得,∴圓心
∴，若直線也是圓的切線，則
即解得,這與或矛盾.
∴直線不可能是圓的切線．