Question

【題目】如圖所示，在幾何體中，四邊形是菱形，平面，，且，.

(1)證明：平面平面；

(2)若二面角是直二面角，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）通過證明，，證明平面，再得到平面⊥平面.

（2）以為軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量和平面的法向量，利用二面角是直二面角求出，得到與的坐標(biāo)，利用向量夾角公式，得到答案.

（1）證明：四邊形是菱形，

平面，

而

平面，平面，

平面⊥平面

（2）設(shè)與的交點為，由(1)得，

如圖：分別以為軸和軸，過點作垂直于平面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

.設(shè)，

則，

，，．

設(shè)是平面的法向量，則，

即，

令，平面AEF的一個法向量為

同理設(shè)，是平面的法向量，則

得平面的一個法向量為，

二面角是直二面角，

，.

，

設(shè)異面直線與所成角為

故所求異面直線與所成角為的余弦值為.