Question

（本小題滿分14分） 已知函數圖象上一點處的切線方程為．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數的底數）；（Ⅲ）令，若的圖象與軸交于，(其中)，的中點為，求證：在處的導數．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）見解析

（Ⅰ），，．
∴，且．   …………………… 2分
解得．……… 3分
（Ⅱ），令，
則，令，得（舍去）．
在內，當時，， ∴ 是增函數；
當時，，  ∴ 是減函數         ……………… 5分
則方程在內有兩個不等實根的充要條件是……6分
即．…… 8分
（Ⅲ），．
假設結論不成立，則有 …… 9分
①－②，得．∴．…… 10分
由④得，∴ …… 11分
即，即．⑤  
令，（)， … 12分
則＞0．∴在上增函數， ∴，… 13分
∴⑤式不成立，與假設矛盾．∴．… 14分