Question

（2012•安徽模擬）給出下列命題，其中正確的命題是

①③④

（寫出所有正確命題的編號）．
①非零向量

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為30°；
②已知非零向量

a

、

b

，則“

a

•

b

＞0”是“

a

、

b

的夾角為銳角”的充要條件；
③命題“在三棱錐O-ABC中，已知

OP

=x

OA

+y

OB

-2

OC

，若點P在△ABC所在的平面內，則x+y=3”的否命題為真命題；
④若(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)=0，則△ABC為等腰三角形．

Answer 1

分析：①非零向量

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，知向量

a

，

b

，

a

-

b

可組成等邊三角形，向量

a

+

b

正好是等邊三角形的高，并且是向量

a

和

b

的角平分線，所以向量

a

與

a

+

b

的夾角是等邊三角形的一個角的

1

2

，即為30°； ②已知非零向量

a

、

b

，則“

a

•

b

＞0”是“

a

、

b

的夾角為銳角”的必要不充分條件；③命題“在三棱錐O-ABC中，已知

OP

=x

OA

+y

OB

-2

OC

，若點P在△ABC所在的平面內，則x+y=3”的否命題為真命題；④若(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)=0，則|

AB

|=|

AC

|，所以△ABC為等腰三角形．

解答：解：①非零向量

a

、

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，
知向量

a

，

b

，

a

-

b

可組成等邊三角形，
向量

a

+

b

正好是等邊三角形的高，并且是向量

a

和

b

的角平分線，
所以向量

a

與

a

+

b

的夾角是等邊三角形的一個角的

1

2

，即為30°，故①正確；
 ②已知非零向量

a

、

b

，
則“

a

•

b

＞0”⇒“

a

、

b

的夾角為銳角或

a

，

b

同向”，
“

a

、

b

的夾角為銳角”⇒“

a

•

b

＞0”，
故“

a

•

b

＞0”是“

a

、

b

的夾角為銳角”的必要不充分條件，故②不正確；
③命題“在三棱錐O-ABC中，已知

OP

=x

OA

+y

OB

-2

OC

，若點P在△ABC所在的平面內，
則x+y=3”的否命題為真命題，故③正確；
④若(

AB

+

AC

)•(

AB

-

AC

)=0，則|

AB

|=|

AC

|，所以△ABC為等腰三角形，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題的真假判斷和應用，是基礎題．解題時要認真審題，注意向量的性質的靈活運用．