Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2（a＞0）在x=1處有極值10．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）求f（x）在[0，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）由f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，
得a=4，或a=﹣3
∵a＞0，∴a=4，
b=﹣11（經檢驗符合）
（2）f（x）=x3+4x2﹣11x+16，f'（x）=3x2+8x﹣11，
由f′（x）=0得,x2=1
所以令f′（x）＞0得或；令得
所以f（x）在上單調遞增，上單調遞減．
（3）由（2）知：f（x）在（0，1）上單調遞減，（1，4）上單調遞增，
又因為f（0）=16，f（1）=10，f（4）=100，
所以f（x）的最大值為100，最小值為1020．
【解析】（1）求出導函數，令導函數在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值．
（2）令導函數大于0求出f（x）的單調遞增區間；令導函數小于0求出f（x）的單調遞減區間．
（3）利用（2）得到f（x）在[0，4]上的單調性，求出f（x）在[0，4]上的最值．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況才能正確解答此題．