Question

【題目】定義在R上的函數(shù)y=f（x）對任意的x、y∈R，滿足條件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）是R上的單調增函數(shù)；
（3）解關于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1中，

令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）﹣1，

解可得：f（0）=1

（2）證明：設x1＞x2，則x1=x2+（x1﹣x2），且x1﹣x2＞0，

則有f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1，

即f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，

又由x1﹣x2＞0，則有f（x1﹣x2）＞1，

故有f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1＞0，

即函數(shù)f（x）為增函數(shù)

（3）解：根據(jù)題意，f（2t2﹣t）＜1，

又由f（0）=1且函數(shù)f（x）為增函數(shù)，

則有2t2﹣t＜0，

解可得0＜t＜

【解析】（1）用賦值法分析：在f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1中，令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）﹣1，解可得f（0）的值，即可得答案；（2）用定義法證明：設x1＞x2，則x1=x2+（x1﹣x2），且（x1﹣x2）＞0，結合題意可得f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1，作差可得f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，分析可得f（x1）﹣f（x2）＞0，由增函數(shù)的定義即可得證明；（3）根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性與f（0）=1可得2t2﹣t＜0，解可得t的取值范圍，即可得答案．