Question

【題目】如圖，橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，其左焦點到點P（2，1）的距離為 ，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

（1）求橢圓C的方程；
（2）求△APB面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意 ，解得： ．

∴所求橢圓C的方程為： ．

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點為M

當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故設AB的方程為y=kx+m（m≠0）

由 ，消元可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0①

∴ ，

∴線段AB的中點M

∵M在直線OP上，∴

∴k=﹣

故①變為3x2﹣3mx+m2﹣3=0，又直線與橢圓相交，

∴△＞0，x1+x2=m，

∴|AB|=

P到直線AB的距離d=

∴△APB面積S= （m∈（﹣2 ，0）

令u（m）=（12﹣m2）（m﹣4）2，則

∴m=1﹣ ，u（m）取到最大值

∴m=1﹣ 時，S取到最大值

綜上，所求直線的方程為：

【解析】（1）由題意，根據離心率為 ，其左焦點到點P（2，1）的距離為 ，建立方程，即可求得橢圓C的方程；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點為M，當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故設AB的方程為y=kx+m（m≠0）由 ，消元再利用韋達定理求得線段AB的中點M，根據M在直線OP上，可求|AB|，P到直線AB的距離，即可求得△APB面積，從而問題得解．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．