Question

（本小題滿分14分）已知各項均不為零的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁＝c，
2S_n＝a_n a_n＋1＋r．
（1）若r＝－6，數列{a_n}能否成為等差數列？若能，求滿足的條件；若不能，請說明理由；
（2）設，，
若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）n＝1時，2a₁＝a₁ a₂＋r，∵a₁＝c≠0，∴2c＝ca₂＋r，．
n≥2時，2S_n＝a_n a_n＋1＋r，①    2S_n－1＝a_n－1 a_n＋r，②
①－②，得2a_n＝a_n(a_n＋1－a_n－1)．∵a_n≠0，∴a_n＋1－a_n－1＝2．
則a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，… 成公差為2的等差數列，a_2n－1＝a₁＋2(n－1)．
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，… 成公差為2的等差數列， a_2n＝a₂＋2(n－1)．
要使{a_n}為等差數列，當且僅當a₂－a₁＝1．即．r＝c－c²．
∵r＝－6，∴c²－c－6＝0，c＝－2或3．
∵當c＝－2，，不合題意，舍去.
∴當且僅當時，數列為等差數列            ……………………………………6分
（2）＝[a₁＋2(n－1)]－[a₂＋2(n－1)]＝a₁－a₂＝－2．
＝[a₂＋2(n－1)]－（a₁＋2n）＝a₂－a₁－2＝－()．     ………………………8分
∴   
．

＝．    ……………………………………10分
∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．
又∵r＞c＞4，∴，則0＜；．
∴＜1．．∴＜1．
所以：
又＞－1． 
所以：
綜上，對于一切n∈N*，不等式恒成立． …………………14分

略