Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1

當x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）單調遞增

①0＜t＜ 時，f（x）min=f（ ）=﹣ ；

② ≤t時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt；

∴f（x）min=

（2）解：2f（x）≥g（x）恒成立，

∴a≤x+ +2lnx恒成立，

令h（x）=x+2lnx+ ，

則h'（x）=1+ ﹣ = ，

由h'（x）=0，得x1=﹣3，x2=1，

x∈（0，1）時，h'（x）＜0；

x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0．

∴x=1時，h（x）min=1+0+3=4．

∴a≤4．

∴實數a的取值范圍是（﹣∞，4]

（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立，

∴xlnx＞ ﹣ ，

∴f（x）＞ ﹣ ，

由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是﹣ ，當且僅當x= 時取到．

設m（x）= ﹣ ，（x∈（0，+∞）），則m′（x）= ，

∵x∈（0，1）時，m′（x）＞0，

x∈（1，+∞）時，m′（x）＜0，

∴m（x）max=m（1）=﹣ ，

從而對一切x∈（0，+∞），lnx＞ ﹣ 成立

【解析】（1）求出導函數f'（x）=lnx+1，對x分別討論，得出導函數的正負區間，根據函數單調性分別討論t的范圍，求出函數的最小值；（2）不等式整理為a≤x+ +2lnx恒成立，只需求出右式的最小值即可，構造函數h（x）=x+2lnx+ ，利用求導的方法得出函數的最小值；（3）根據不等式的形式可得f（x）＞ ﹣ ，只需使f（x）的最小值大于右式的最大值即可，構造函數m（x）= ﹣ ，利用求導得出函數的最大值．