Question

數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不為零的常數，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比數列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通項公式；
（3）設數列{

an-c

n•cn

}的前n項之和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根據a₁=2，a_n+1=a_n+cn，令n=2得到a₂，令n=3得到a₃．因為a₁，a₂，a₃成等比數列，所以a₂²=a₁•a₃，代入即可求出c的值；（2）當n≥2時，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，等號左邊相加等于等號右邊相加，并根據等差數列的前n項和的公式得到a_n即可；
（3）設bn=

an-c

n•cn

=(n-1)(

1

2

)n．然后列舉出T_n的各項得①，都乘以

1

2

得

1

2

T_n②，利用①-②即可得到T_n的通項．

解答：解：（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c．
∵a₁，a₂，a₃成等比數列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0或c=2．
∵c≠0，∴c=2．

（2）當n≥2時，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故有a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=n²-n+2（n=1，2）．

（3）令bn=

an-c

n•cn

=(n-1)(

1

2

)n．T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=0+(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+（n-1）(

1

2

)n①

1

2

T_n=0+(

1

2

)3+2×(

1

2

)4+…+（n-2）(

1

2

)n+（n-1）(

1

2

)n+1②
①-②得Tn=1-(

1

2

)n-1-

n-1

2n

．

點評：考查學生靈活運用等比數列性質的能力，靈活運用等差數列的前n項和公式求數列的通項公式，會利用錯位相減法求數列的通項．以及靈活運用數列遞推式解決數學問題．