Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=

1

2

a_n-1+1（n≥2），求通項公式a_n．

Answer 1

分析：在遞推式兩邊同時減2，構造一個新數(shù)列，根據(jù)新數(shù)列的特點，發(fā)現(xiàn)它是一個等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列的通項，根據(jù)新數(shù)列和要求數(shù)列的關系得到結果．

解答：解：由a_n=

1

2

a_n-1+1，得a_n-2=

1

2

（a_n-1-2）．
令b_n=a_n-2，則b_n-1=a_n-1-2，
∴有b_n=

1

2

b_n-1．
∴b_n=

1

2

b_n-1=

1

2

•

1

2

b_n-2
=

1

2

•

1

2

•

1

2

b_n-3
=

1

2

× 

1

2

 ×

1

2

… ×

1

2

b₁=（

1

2

）^n-1•b₁．
∵a₁=1，∴b₁=a₁-2=-1．
∴b_n=-（

1

2

）^n-1．
∴a_n=2-

1

2n-1

．

點評：解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．