Question

S_n是等比數列{a_n}的前n項和，對于任意正整數n，恒有S_n＞0，則等比數列{a_n}的公比q的取值范圍為

（-1，0）∪（0，+∞）

．

Answer 1

分析：易得a₁＞0，故只需

1-qn

1-q

＞0恒成立，下面分類討論：（1）當q＞1時，顯然成立；（2）當q=1時，a₁＞0，S_n＞0一定成立；（3）當q＜1時，需1-qⁿ＞0恒成立，再分當0＜q＜1時，當-1＜q＜0時，當q＜-1時，當q=-1時，綜合可得答案．

解答：解：q≠1時，有S_n=

a1(1-qn)

1-q

∵S_n＞0，∴a₁＞0，
則

1-qn

1-q

＞0恒成立，
（1）當q＞1時，1-qⁿ＜0恒成立，即qⁿ＞1恒成立，
又q＞1，顯然成立，
（2）當q=1時，只要a₁＞0，S_n＞0就一定成立．
（3）當q＜1時，需1-qⁿ＞0恒成立，
當0＜q＜1時，1-qⁿ＞0恒成立，
當-1＜q＜0時，1-qⁿ＞0也恒成立，
當q＜-1時，當n為偶數時，1-qⁿ＞0不成立，
當q=-1時，顯然1-qⁿ＞0也不可能恒成立，
所以q的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．
故答案為：（-1，0）∪（0，+∞）．

點評：本題考查數列{a_n}的公比的取值范圍的求法，注意分類討論思想的合理運用，屬中檔題．