Question

設(shè)S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）求證：a₃，a₉，a₆成等差數(shù)列；
（Ⅲ）當(dāng)a_m，a_s，a_t（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差數(shù)列時(shí)，求m+s+t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設(shè)出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列建立方程求q即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）給出a₃，a₉，a₆的表達(dá)式，驗(yàn)證是否構(gòu)成等差數(shù)列即可；
（Ⅲ）a_m，a_s，a_t（m，s，t∈[1，10]，m，s，t互不相等）成等差數(shù)列時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)構(gòu)建方程，討論既得．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)q=1時(shí)，S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，
∵2S₉≠S₃+S₆，∴S₃，S₉，S₆不成等差數(shù)列，與已知矛盾，
∴q≠1．（2分）
由2S₉=S₃+S₆得：2•

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，（4分）
即2（1-q⁹）=（1-q³）+（1-q⁶）?2q⁶-q³-1=0，
∴q3=-

1

2

?q=-

3	1 2

，q³=1?q=1（舍去），∴q=-

3 4

2

（6分）
（Ⅱ）∵2a₉-a₃-a₆=2a₁q⁸-a₁q²-a₁q⁵=a₁q²（2q⁶-1-q³）=0，
∴2a₉=a₃+a₆，∴a₃，a₉，a₆成等差數(shù)列．（9分）
（Ⅲ）S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列?2q⁶-q³-1=0?2q⁶=q³+1?2a₁q⁶=a₁q³+a₁?2a₇=a₄+a₁，
∴a₁，a₇，a₄成等差數(shù)列或a₄，a₇，a₁成等差數(shù)列，則m+s+t=12，（11分）
同理：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列或a₅，a₈，a₂成等差數(shù)列，則m+s+t=15，
a₃，a₉，a₆成等差數(shù)列或a₆，a₉，a₃成等差數(shù)列，則m+s+t=18，
a₄，a₁₀，a₇成等差數(shù)列或a₇，a₁₀，a₄成等差數(shù)列，則m+s+t=21，
∴m+s+t的值為12，15，18，21．（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差與等比數(shù)列的綜合運(yùn)用，用到了分類討論的思想，綜合性較強(qiáng)．本題解題時(shí)容易因?yàn)橛懻摬蝗�出錯(cuò)．