Question

已知是橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)，直線(xiàn)y＝上到焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之和最小的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如圖，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為；（Ⅱ）存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)．

解析試題分析：（Ⅰ）求橢圓E的方程，可用待定系數(shù)法求方程，因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)為，故可得橢圓E：的兩個(gè)焦點(diǎn)，即，由題意直線(xiàn)y＝上到焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂距離之和最小，可用對(duì)稱(chēng)法求最小值，即求出點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為最小值為，此時(shí)的點(diǎn)P恰好在橢圓E上，故，可得，從而得，這樣就得橢圓E的方程；（Ⅱ）這是探索性命題，可假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：，當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為：，解得兩圓公共點(diǎn)．因此所求的點(diǎn)如果存在，只能是．由此能夠?qū)С鲆訟B為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M．
試題解析：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)可得：，
點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
故，
因此，橢圓方程為。（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)。
當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： …………… ①
當(dāng)AB軸時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為： …………②
由①②知定點(diǎn)M。（6分）
下證：以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M。
設(shè)直線(xiàn)，代入，有。
設(shè)，則。  
則，


在軸上存在定點(diǎn)M，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)。（14分）
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題；圓錐曲線(xiàn)的共同特征．