Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知（，為常數(shù)），，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求所有滿足等式成立的正整數(shù)，.

Answer 1

（1）（）；（2）.

試題分析：（1）由取n=1，及 ，，可求得，再由構(gòu)造兩個(gè)關(guān)系相減求得與關(guān)系，進(jìn)而知道為等比數(shù)列，從而可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1），得，代入，同時(shí)注意變形技巧，易得n與m的關(guān)系，注意到，為正整數(shù)，以m為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論，進(jìn)而求得n與m的值.
試題解析：（1）由題意，得，求得．所以，   ①
當(dāng)時(shí)，      ②
①－②，得（），又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故的通項(xiàng)公式為（）.
（2）由（1），得，由，兩邊倒數(shù)，且有，因此得，化簡得，即，即．（*）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054629917611.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054629980528.png" style="vertical-align:middle;" />，所以或或.
當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，由（*）得，所以.綜上可知，存在符合條件的正整數(shù).與的關(guān)系：；2，等比數(shù)列通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式；3，分類討論思想.