Question

（2012•杭州二模）設數列{a_n}與數列{b_n}滿足a₁=b₁=1，

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：

bn+1

bn+1

=

an

an+1

（n≥2）；
（Ⅱ）設(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)=λ(

1

a1

+

1

a2

…+

1

an

)（n∈N^*），求實數λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

（n≥2且n∈N^*），向上類比一項，整理即可證得結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）

bn+1

bn+1

=

an

an+1

知，（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）=2•

bn+1

an+1

，而

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

，從而可求得

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

=2，即λ可求．

解答：證明：（Ⅰ）n≥2時，
∵

bn

an

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

（n≥2且n∈N^*），
∴

bn+1

an+1

=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

，
∴

bn+1

an+1

=

bn

an

+

1

an

，
∴b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1=0（n≥2且n∈N^*），
所以

bn+1

bn+1

=

an

an+1

（n≥2且n∈N^*）．                                     （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

bn+1

bn+1

=

an

an+1

，b₂=a₂，
∴（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

1

b1

•

b1+1

b2

•

b2+1

b3

…

bn-1+1

bn

•

bn+1

bn+1

•b_n+1
=

1

b1

•

b1+1

b2

•

a2

a3

•

a3

a4

…

an-1

an

•

an

an+1

•b_n+1
=2•

bn+1

an+1

=2（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an-1

+

1

an

），
故

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )…(1+ 1 bn )

1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an

=2，即 λ=2．                           （14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查創新思維與抽象思維能力，考查化歸思想與運算能力，屬于難題．