Question

（本小題滿分12分）
如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，，E是CD的中點，PA底面ABCD，PA=4
（1）證明：若F是棱PB的中點，求證：EF//平面PAD；
（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小。

Answer 1

（1）略（2）

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，E是CD的中點
∴BE⊥AB，
又PA⊥底面ABCD，
∴BE⊥PA
∴BE⊥平面PAB
∴BE平面PBE
∴平面PBE⊥平面PAB
（2）設PA的中點為M，連接EF、FM、MD
則MF//AB、DE//AB，
∴DE//FM、DE=FM
∴四邊形EFMD是平面四邊形，
∴EF//DM
又EF平面PAD，DM平面PAD
∴EF//平面PAD
（3）延長BE交AD的延長線于G，則PG是平面PAD和平面PBE的交線過點A作AH⊥OB、AN⊥PG，
∵AH⊥平面PAB，
∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角
在Rt△PAB中，PA=4、AB=2
∴
∵E是DC的中點，且AB//CD，
∴AG=2AD=4
∴在Rt△PAG中，AN=，
∴Rt△ANH中，

∴平面PAD和平面PBE所成二面角的大小為
或如圖，建立空間直角坐標系O—xyz，

B（1，0，0），
則，
設平面PAD的法向量為
則

可得
又
設平面PBE的法向量為
，
=0
可得，取x=1，


平面PAD和平面PBE所成二面角的大小為