Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，上、下頂點分別是，點是的中點，若，且.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過的直線與橢圓交于不同的兩點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）由題意可得，①,由,可得,即有②,由①②解得,．．．．．．．． 3分

故橢圓的標準方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）設，. ………………6分

由題意知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，所以，． ．．．．．．8分

因為直線與橢圓交于不同的兩點，

所以，即，則

．．．．．．．．．．．．．．10分

令，則，則，令，由函數的性質可知，函數在上是單調遞增函數，即當時，在上單調遞增，因此有，所以，即當，即時，最大，最大值為3．．．．．．．． 12分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，構建代數方法解決幾何問題等基礎知識，意在考查學生的轉化與化歸能力，綜合分析問題、解決問題的能力，推理能力和運算能力．