Question

（本小題滿分14分）
已知點，及⊙：。
（Ⅰ）當直線過點且與圓心的距離為1時，求直線的方程；
（Ⅱ）設過點的直線與⊙交于、兩點，當，求以線段為直徑的圓的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）或；（Ⅱ）

分析：（1）把圓的方程變為標準方程后，分兩種情況①斜率k存在時，因為直線經過點P，設出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設直線的距離d，讓d等于1列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根據k的值和P的坐標寫出直線l的方程即可；②當斜率不存在時顯然得到直線l的方程為x=2；（
2）利用弦|AB|的長和圓的半徑，根據垂徑定理可求出弦心距|CP|的長，然后設出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離d，讓d等于|CP|列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程，把直線l的方程與已知圓的方程聯立消去x得到關于y的一元二次方程，利用韋達定理即可求出線段AB中點的縱坐標，把縱坐標代入到直線l的方程中即可求出橫坐標，即可得線段AB的中點坐標即為線段AB為直徑的圓的圓心坐標，圓的半徑為|AB|的一半，根據圓心和半徑寫出所求圓的標準方程即可．
解：（1）由題意知，圓的標準方程為：（x-3）²+（y+2）²=9，
①設直線l的斜率為k（k存在）
則方程為y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0
又⊙C的圓心為（3，-2），r=3，
由＝1?k＝?
所以直線方程為y＝? (x?2)即3x+4y-6=0；
②當k不存在時，直線l的方程為x=2．
綜上，直線l的方程為3x+4y-6=0或x=2；
（2）由弦心距d＝＝，即|CP|=，
設直線l的方程為y-0=k（x-2）即kx-y-2k=0則圓心（3，-2）到直線l的距離d==，
解得k=，所以直線l的方程為x-2y-2=0聯立直線l與圓的方程得，
消去x得5y2-4=0，則P的縱坐標為0，把y=0代入到直線l中得到x=2，
則線段AB的中點P坐標為（2，0），所求圓的半徑為：|AB|=2，
故以線段AB為直徑的圓的方程為：（x-2）²+y²=4．