Question

已知關于x的方程x²＋2alog₂(x²＋2)＋a²－3＝0有唯一解，則實數a的值為________．

Answer 1

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設f(x)＝x²＋2alog₂(x²＋2)＋a²－3，由f(－x)＝f(x)，知f(x)是偶函數．若方程f(x)＝0有唯一解，則f(0)＝0，代入得a＝1或a＝－3.令t＝x²，則f(x)＝g(t)＝t＋2alog₂(t＋2)＋a²－3.當a＝1時，g(t)＝t＋2log₂(t＋2)－2，由于g(t)≥g(0)＝0，當且僅當x＝0時取等號，符合條件；當a＝－3時，g(t)＝t－6log₂(t＋2)＋6，由g(30)＝30－6×5＋6>0，g(14)＝14－6×4＋6<0，知f(x)至少有三個根，不符合．所以，符合條件的實數a的值為1.