Question

【題目】設函數(shù)，已知對任意，都有，且成立.令，其中為常數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的所有零點；

（2）當時，求函數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1），，.（2）當時，；當時，.

【解析】

（1）由一元二次不等式在實數(shù)集上恒成立可構造不等式組求得，由二次函數(shù)關于對稱可求得，進而得到；通過分類討論可得解析式，令，解方程可求得所有零點；

（2）分類討論得到解析式，通過對二次函數(shù)對稱軸位置的分類討論可得到在不同情況下的單調性，由單調性可確定可能的最小值點，通過對最小值點的函數(shù)值的大小的進一步討論可最終確定最小值.

（1）恒成立，恒成立，，

即，，，

，的圖象關于直線對稱，，解得：，

.

當時，，

由得：或；

由得：；

的所有零點為，，.

（2）由得：，.

，.

①若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增，

.

②若，即，則在和上單調遞減，在和上單調遞增.

當時，；

當時，.

，

當時，，；

當時，，.

綜合①②知，當時，；當時，.