Question

如圖，在三棱錐中，，，，．

（Ⅰ）求證；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

Answer 1

（Ⅰ）略，（Ⅱ），（Ⅲ）

解析:

解法一

（Ⅰ）取中點，連結．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中點．連結．

，．

是在平面內的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長即為點到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

點到平面的距離為．

解法二

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則．

設．

，

，．

取中點，連結．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ），

在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．

，

點的坐標為．

．

點到平面的距離為．