Question

已知△ABC中，AB邊上的中線CM=2，若動(dòng)點(diǎn)P滿足

AP

=

1

2

sin2θ•

AB

+cos2θ•

AC

(θ∈R)，則(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是

-2

．

Answer 1

分析：由向量式變形可推得點(diǎn)P在CM上，而而

PA

+

PB

=2

PM

，故(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PM

•

PC

，又

PM

，

PC

夾角為π，由數(shù)量積的定義結(jié)合基本不等式可得答案．

解答：解：由題意可得：

AB

=2

AM

，
∴

AP

=sin2θ•

AM

+cos2θ•

AC

，又sin²θ+cos²θ=1
所以P、M、C三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在CM上，
而

PA

+

PB

=2

PM

，故(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PM

•

PC

=2|

PM

||

PC

|cosπ=-2|

PM

||

PC

|，
∵|

PM

|+|

PC

|=CM=2，由基本不等式可得：
|

PM

||

PC

|≤(

| PM |+| PC |

2

)2=1，故-2|

PM

||

PC

|≥-2
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算和基本不等式的應(yīng)用，由題意得出P、M、C三點(diǎn)共線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．