Question

已知函數f（x）=x²-2ax-（2a+2）
（Ⅰ）解關于x的不等式f（x）＞x；
（Ⅱ）若f（x）+3≥0在區間（-1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解（Ⅰ）由f（x）＞x得x²-（2a+1）x-（2a+2）＞0，即（x-2a-2）（x+1）＞0，
當2a+2＞-1，即a＞-

3

2

時，原不等式的解為x＞2a+2或x＜-1，
當2a+2=-1，即a=-

3

2

時，原不等式的解為x∈R且x≠-1，
當2a+2＜-1，即a＜-

3

2

時，原不等式的解為x＞-1或x＜2a+2．
綜上，當a＞-

3

2

時，原不等式的解集為{x|x＞2a+2或x＜-1}；
當a=-

3

2

時，解集為{x|x∈R且x≠-1}；
當a＜-

3

2

時，解集為{x|x＞-1或x＜2a+2}．
（Ⅱ）由f（x）+3≥0得x²-2a（x+1）+1≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即2a≤(

x2+1

x+1

)min在（-1，+∞）上恒成立．
令t=x+1（t＞0），則

x2+1

x+1

=

(t-1)2+1

t

=t+

2

t

-2≥2

2

-2，
當且僅當t=

2

等號成立
∴(

x2+1

x+1

)min?=2

2

-2，
∴2a≤2

2

-2，即a≤

2

-1．
故實數a的取值范圍是(-∞，

2

-1]．