Question

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3，其中a為實數．
（1）設t＞0為常數，求函數f（x）在區間[t，t+2]上的最小值；
（2）若對一切x∈（0，+∞），不等式2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）f'（x）=lnx+1，
當x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增
①0＜t＜t+2＜

1

e

，沒有最小值；
②0＜t＜

1

e

＜t+2，即0＜t＜

1

e

時，f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；
③

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）_min=f（t）=tlnt；（5分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

（2）由已知，
2xlnx≥-x²+ax-3，則a≤2lnx+x+

3

x

，
設h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，則h′(x)=

(x+3)(x-1)

x2

，
①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，
②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4，對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
所以a≤h（x）_min=4；