Question

【題目】已知圓： 與定點， 為圓上的動點，點在線段上，且滿足.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設曲線與軸正半軸交點為，不經過點的直線與曲線相交于不同兩點， ，若.證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓定義求軌跡方程；（2）如果與軸不垂直，可設，將代入得 由題設可知設則

利用，得到，從而明確直線過定點.

試題解析：

（Ⅰ）由已知，則,

則點的軌跡是以為焦點的橢圓，可設的方程為： ，

由已知可得，則點的軌跡的方程為： ．

（Ⅱ）①如果與軸垂直，設，由題知，可得，又，

則 得或舍去，則

②如果與軸不垂直，可設，將代入得 由題設可知

設則

又，

由，

故，

得

即，則

解得或（舍去）

時，滿足，于是即，恒過定點

又，也過點

綜上可知，直線恒過定點，故得證.