Question

【題目】已知函數，且．

求定義域；

若函數的反函數是其本身，求a的值；

求函數的值域．

Answer 1

【答案】(1)； (2) ；(3) 當時，函數的值域是；當時，函數的值域是．

【解析】

（1）由函數解析式的特征得到關于的不等式，解不等式可得所求結果；（2）求出函數的反函數，利用條件中給出的相等關系式求出的值；（3）先求出函數的定義域，然后通過分類討論得到函數的值域即可．

（1）由，得，

解得；

所以函數的定義域為．

（2）由，且，解得，

互換，得，

所以函數的反函數為．

由于函數的反函數是其本身，

所以．

（3）由題意得

，

由，得，

∴函數的定義域為．

∵，當且僅當時等號成立，

∴，

故的取值范圍是．

①當時，，

∴函數的值域是．

②當時，，

∴函數的值域是．

綜上可得，當時，函數的值域是；當時，函數的值域是．