Question

在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于A、B兩點。
（1）求證：命題“如果直線過點T（3，0），那么＝3”是真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。

Answer 1

（1）設過點T(3,0)的直線l交拋物線=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂). 當直線l的斜率不存在時A(3,)、B(3,－)，∴當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.得ky²－2y－6k=0,則y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂²,
∴=x₁x₂+y₁y₂=="3." 綜上所述, 命題是真命題.
（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”，假命題

試題分析：（1）設過點T(3,0)的直線l交拋物線=2x于點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于A(3,)、B(3,－)，∴
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x－3),其中k≠0.
得ky²－2y－6k=0,則y₁y₂=－6. 又∵x₁=y₁², x₂=y₂², 
∴=x₁x₂+y₁y₂==3.
綜上所述, 命題“......”是真命題.
（2）逆命題是：“設直線l交拋物線y²=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”…10分，該命題是假命題.  例如：取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,直線AB的方程為y = (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.
點評：直線與圓錐曲線相交時，常聯立方程組，整理為關于x的二次方程，利用韋達定理找到根與系數的關系，通過設而不求的方法轉化所求問題；四種命題中原命題與逆否命題真假性一致，逆命題與否命題真假性一致