Question

【題目】設函數．

（1）求該函數的單調區間；

（2）若當x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調減區間為（﹣2，0）；

（2）m＞2e2．

【解析】

（1）求出導函數f′（x），令導函數f′（x）＞0，求解即可求得單調增區間，令f′（x）＜0，求解即可求得單調減區間，從而求得答案；

（2）將恒成立問題轉化成求函數f（x）最大值，利用導數求出函數f（x）的最大值，即可求得實數m的取值范圍．

（1）∵，

∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），

令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，

∴f（x）的單調遞增區間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調減區間為（﹣2，0）；

（2）∵當x∈[﹣2，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，

∴m＞f（x）max，

由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），

令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，

∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，

∴f（x）max＝2e2，

∴m＞2e2，

∴實數m的取值范圍為m＞2e2．