Question

已知函數f（x）=log₃是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為的點P滿足2（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y₁+y₂為定值；
（Ⅱ）若，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=，其中n∈N^*，T_n為數列{a_n}的前n項和，若T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先用表示出，再由P是MN的中點可得到x₁+x₂=1，然后代入到y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）結合對數的運算法則即可得到y₁+y₂=1，得證．
（2）先由（Ⅰ）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=1，然后對進行倒敘相加即可得到，再結合x₁+x₂=1時，y₁+y₂=1可得到．
（3）將（2）中的．代入到a_n的表達式中進行整理當n≥2時滿足．，然后驗證當n=1時滿足，再代入到T_n中進行求值，當T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立時可轉化為恒成立，再由均值不等式可求出m的范圍．
解答：解：（1）由已知可得，，
∴P是MN的中點，有x₁+x₂=1．
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）
=
=
=
=
=．
（2）解：由（Ⅰ）知當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₁）=1
，
，
相加得

=
=n-1
∴．
（3）解：當n≥2時，
．
又當n=1時，
．
∴．
=．
由于T_n＜m（S_n+1+1）對一切n∈N^*都成立，

∵，當且僅當n=2時，取“=”，
∴
因此．
綜上可知，m的取值范圍是．
點評：本題主要考查數列求和的倒敘相加法、數列的裂項法和均值不等式的應用．考查對基礎知識的綜合運用．