Question

【題目】是否存在實數a，使得函數y=cos2x+asinx+ ﹣ 在閉區間[0，π]的最大值是0？若存在，求出對應的a的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】解：∵y=cos2x+asinx+ ﹣ =﹣sin2x+asinx+ ﹣ ， 令sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=﹣t2+at+ ﹣ ，對稱軸為t= a，
①當a≤0時，函數f（t）在[0，1]上是減函數，
∴f（t）的最大值是g（a）=f（0）= ﹣ =0，解得a= ，不符合題意，
②當a≥2時，函數f（t）在[0，1]上是增函數，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）= ﹣ =0，解得a= ，不符合題意，
③當0＜a＜2時，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（ a）=f（ a）= + ﹣ =0，
解得a=﹣4（舍去），或a= ．·
綜上，存在a= 時，函數在閉區間[0，π]上的最大值是0
【解析】化簡函數f（x），令sinx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函數g（a），再令g（a）=0，求對應a的值是否存在即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角函數的最值的相關知識，掌握函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．